xDroid's Blog

假装高冷的Geek

线性代数如此容易(棒读

今早在朋友圈看到一张梗图:

你学废了吗?

然后转发到群里,出现了如下的沙雕对话:

谁暴搜一下10^8个
看看还有啥

哦好多
我怎么贴比较好

写了个简单的 代码 跑了一下发现 还挺多。然后群友看了一眼,讨论继续:

| 9 3 | * | 9 3 | = | 99 33 |
| 6 2 | * | 6 2 | = | 66 22 |
这组真tm有意思
草还真是对的
我想想
搜出来100组
至少有4合1
ab,cd等价于ac,bd等价于dc,ba等价于db,ca
呃我想想
什么意思呢
就是你把矩阵转置一下和转180度是trivial的变换
我再看看细节
这不是很显然吧

对,其实 180 旋转确实可以 trivial 地导出另一组解,但是转置并不行。因为如果 X*Y=Z 而且 X^T*Y^T=Z^T 的话,其实 XY 就可交换了。不过熟悉线性代数的朋友们应该知道,可交换等价于可被同时上三角化,所以其实我们可以推出两组恒等式:

假设 X=(a, b; c, d)Y=(e, f; g, h),我们有

  1. bg=cf (感谢 Bai 同学的证明)
  2. (a-d)/c=(e-h)/g (这个不是太好证明)

最后贴几组比较有意思的结果吧233

| 2  3 |   | 2  3 |   | 22  33 |
| | * | | = | |
| 6 9 | | 6 9 | | 66 99 |

| 10 13 | | 10 13 | | 1010 1313 |
| | * | | = | |
| 70 91 | | 70 91 | | 7070 9191 |

| 20 18 | | 20 18 | | 2020 1818 |
| | * | | = | |
| 90 81 | | 90 81 | | 9090 8181 |

(就算是这样自己平方的解也有几十组……)